График равновесия на рынке. Условия равновесия тел

Говорят, что покоящаяся в какой-либо момент точка находится в равновесии, если равнодействующая приложенных к ней сил равна нулю. Если точка остается в равновесии в течение некоторого промежутка времени, то она находится в состоянии покоя в течение этого промежутка.

Таким образом, необходимое и достаточное условие для того, чтобы покоящаяся точка была в равновесии под действием приложенных к ней сил, заключается в том, чтобы равнодействующая R этих сил была равна нулю. Если проекции силы R, то это условие аналитически запишется в виде трех алгебраических уравнений:

146. Случай, когда существует силовая функция.

Если существует силовая функция для равнодействующей сил, приложенных к точке, то три предыдущие уравнения принимают вид:

О функции говорят, что она имеет в точке максимум или минимум, если значение ее в этой точке больше или меньше, чем во всякой другой достаточно близкой к ней точке. Согласно этому, три предыдущие условия представляют собой необходимые условия для максимума или минимума функции . Отсюда мы заключаем, что при существовании силовой функции те точки пространства, где функция достигает наибольшего или наименьшего значения, суть положения равновесия: точка, будучи помещена в одно из этих положений без начальной скорости, останется в этом положении.

147. Устойчивость равновесия. Теорема Лежен-Дирихле.

Когда точка находится в положении равновесия, то может случиться, что самый незначительный толчок или смещение из этого положения, сообщенные точке, будут достаточны, чтобы привести ее в движение, которое будет все более и более усиливаться, так что точка в конце концов отойдет на конечное расстояние от своего положения равновесия. В этом случае говорят, что равновесие неустойчиво. Наоборот, равновесие устойчиво, если точка сколь угодно мало отклоняется от своего

положения равновесия при условии, что начальные отклонение и скорость достаточно малы.

Теорема Лежен-Дирихле. - Положения равновесия движущейся точки, в которых силовая функция достигает своего максимума, являются положениями устойчивого равновесия.

Пусть а, b, с - координаты точки А, в которой силовая функция имеет максимум; это значит, что функция в точке А достигает значения большего, чем во всякой другой, достаточно близкой точке.

Докажем, что А есть положение устойчивого равновесия, т. е. что точка М не выйдет из сферы с центром А и с радиусом , как угодно малым, при условии, что начальное положение точки достаточно близко к А и начальная скорость достаточно мала.

Так как функция о определена лишь с точностью до постоянной, то мы можем выбрать эту постоянную таким образом, чтобы обратилась в нуль в точке А и, следовательно, была отрицательна вблизи от этой точки, т. е. внутри и на поверхности сферы (за исключением точки А) с центром Лис радиусом , который можно задать как угодно малым. В частности, так как отрицательна на поверхности сферы S, то можно выбрать положительное число (также как угодно малое вместе с , удовлетворяющее в любой точке х, у, z этой поверхности условию

После того как это сделано, дадим точке М начальное положение достаточно близкое к А, чтобы удовлетворить условию

и начальную скорость достаточно малую, чтобы имело место неравенство

Люди, сидящие на всевозможные диетах, любят обсуждать свой обмен веществ «быстрый», «медленный», «сломанный» или вовсе «неправильный». Но в сущности, мало кто понимает, что же скрывается под понятием «обмен веществ».

Но перед тем как мы начнем обозначим: Основа любой успешной диеты – это манипуляции с калорийностью рациона, а точнее с потребляемой и расходуемой энергией.

Обратимся к рисунку справа, нам нем изображены три возможных сценария энергетического баланса. Нас сейчас интересует лишь середина картинки: ситуация, когда расходуемая энергия равна поступающей.

Потребляемая энергия — (Метаболизм покоя + Затраты на усвоение пищи + Активность) = 0

Определимся с непонятным, на первый взгляд, понятием «Точка равновесия». На самом деле в нём нет ничего сложного. «Точка равновесия» это ни что иное, как равенство между потребляемой и расходуемой энергией. Цель первого раздела руководства – научить вас находить это волшебную точку. Но в начале дадим толкование использованным понятиями.

Первое: Метаболизм покоя(«базовый» обмен веществ) . Это то количество энергии, которое требуется, чтобы человек мог просто жить(дыхание, работа внутренних органов и т.д). К примеру, обслуживание сердца для среднего человека это 440 калорий в сутки, каждого килограмма жира – 4.5 калории, мышц – всего 13 калорий.

Вторая переменная: Затраты на усвоение пищи . Очевидно, что для получения энергии из пищи, её нужно предварительно затратить. И усвоение различных нутриентов(белка, жира или углеводов) требует разного количества энергии.

Так, например, на усвоение белка(примеры белковых продуктов – яйца, мясо, рыба творог, но белок есть во многих продуктах) может затрачиваться от 20 до 30% поступающей с ним энергии, а усвоение углеводов(каши, макароны, фрукты, сахар) требует от 5 до 15%, жиры(масла, сыры, рыба, орехи) же усваиваются организмом очень эффективно – затраты на этот процесс не превышают и 3%.

Кстати, именно из-за того, что люди не понимают сути переменной, и родился глупый диетический миф: необходимость кушать часто и маленькими порциями с целью «разгона» обмена веществ.

Строится это все на житейской логике – если съесть 2000 калорий за 8 порций по 250 калорий в каждой, а не 4 по 500, то мы сожжем большее количество калорий.

Но этот миф не находит подтверждения в серьезной научной литературе. К тому же дробление приемов пищи внутри суток – приводит к более частому появлению истинного чувства голода: оно будет приходить не 3-4 раза за сутки(трехразовое питание), а 5-6-7-8 раз – в зависимости от того, насколько человек решил «разогнать» обмен веществ. А появления избыточно частого чувства голода в условиях диеты означает лишь то, что она вряд ли принесет результаты в долгосрочной перспективе.

Третья переменная: Активность

Причем имеется в виду два разных типа активности: Тренировочная и Повседневная. С Тренировочной активностью, как вы понимаете, все очень просто – это количество калорий, расходуемое за тренировку, соответственно, Повседневная активность – энергия, которую мы тратим в течение дня на различные действия: упала ручка – поднимаем, идем к кулеру попить воду, прогуливаемся вечером с питомцем или же просто передвигаемся.

Но прежде чем перейти к расчету «Точки равновесия» определимся с понятиями «быстрый» и «медленный» обмен веществ. Разница между ними – это, конечно же, скорость метаболизма покоя и количество активности(разница в эффективности усвоения пищи существует, но она не вносит значительного вклада).

К удивлению многих, разница между «самым быстрым» и «самым медленным» метаболизмом покоя совсем небольшая: чуть большее 200 калорий. Таким образом, именно разной активностью людей и обусловлен «быстрый» и «медленный» обмен веществ, так, к примеру, разница в энергии, расходуемой на повседневную активность, может доходить до 2000(!) калорий в сутки.

Причем некоторые люди, худые от природы, как правило, обладают одной интересной особенностью: когда их перекармливают, они становятся активнее и буквально сжигают поступившие калории. Процент таких людей не очень большой, а вот людей, которые очень мало двигаются и жалуются на «испорченный обмен веществ» – много. Выход из этой ситуации один – повышать повседневную активность: больше ходить, меньше лениться и не забывать про учет активности.

Стоит помнить, что в процессе увеличения активности нужно фиксировать свой прогресс. Сделать это проще простого – достаточно просто установить приложение- шагометр на телефон(или же воспользоваться наручным/нагрудным вариантом). В самом начале пути – определите среднее количество шагов, которое вы проходите за день. Далее – старайтесь двигаться больше. Это, в сущности, и «разгонит» ваш обмен веществ, поможет быстрее худеть(активность тратит энергию), а по завершении диеты поможет закрепить достигнутые диетой результаты.

Сейчас вы научитесь находить свою «Точку равновесия». Для этой цели ученные разработали множество формул, которые учитывают очень много параметров, и требуют совершения ряда не самых простых математических операций. Любая формула по определению «Точки равновесия» с большой вероятностью ошибется на сотню-другую калорий в любою сторону. Но нам и не требуется абсолютная точность. Нужен лишь примерный ориентир.

А для этого используем куда более простой метод, предложенный известным в научной среде человеком – Лайлом Макдональдом. Так для определения индивидуальной «точки равновесия» человеку потребуется лишь знать собственную массу тела и примерно оценить свою активность. Не стоит забывать, что люди не умеют трезво оценивать свою активность, поэтому имеет смысл немного занизить её.

А формула «Точки равновесия» выглядит так:

Определимся с коэффициентом активности. Для большинства женщин и мужчин это будет число из промежутка 31-33. Но если человек имеете высокую повседневную активность(«весь день на ногах»), то разумнее взять число из диапазона 33-35.

Просто подставьте значения и перемножьте их, получив персональную «Точку равновесия». Для лучшего понимания рассмотрим несколько примеров: девочка массой 60 килограммов со средней активностью (32) будет иметь точку равновесия на уровне 1920 ккал, а мальчик массой 80 кг с такой же активностью – 2560.

Установление равновесной цены происходит на конкурентном рынке под влиянием общих тенденций и специфических особенностей как спроса, так и предложения. На рис. 1 показаны в наиболее общем виде динамичные процессы, которые происходят в сфере движения товаров и цен.

Рис. 1. График рыночного равновесия спроса и предложения

Равновесная рыночная цена - это цена, при которой по каждому данному товару нет ни излишка, ни дефицита. Она устанавливается в результате уравновешивания спроса и предложения как денежный эквивалент строго определенного количества товара.

Спрос и предложение уравновешиваются под влиянием конкурентной среды рынка, вследствие чего цена и количество товара, продаваемое по этой цене, выступают как результат равновесия спроса и предложения . При прочих равных условиях цена соответствует тому количеству, которое покупатели хотят купить, а продавцы согласны продать.

Точка пересечения Е - это точка равновесия спроса и предложения. Как показано на графике равновесия, любой избыток товара, доставленный на рынок, «теснит» цену товара вниз, к точке равновесия. И наоборот, если на рынке ощущается дефицит, нехватка каких-либо товаров, то возникает повышательная тенденция, которая «теснит» цену недостающих товаров вверх, по направлению к той же точке равновесия.

В конечном итоге установится равновесная цена Р е, по которой будет продаваться Q e товаров на данном рынке в каждый данный момент времени. В каждый последующий момент времени (в течение дня, недели, месяца, года) рыночное равновесие может установиться как некое новое значение равновесной цены и количества продаж товара по этой цене.

Вместе с тем равновесие - это такое состояние рынка, при котором Q d = Q s . Любое отклонение от такого состояния приводит в движение силы, способные вернуть рынок в состояние равновесия: устранить дефицит (Q d > Q) или излишек товаров на рынке (Q s < Q d).

Уравновешивающую функцию выполняет цена , стимулируя рост предложения при дефиците и «разгружая» рынок от излишков, сдерживая предложение. Если спрос растет, то устанавливается новый, более высокий уровень равновесной цены и новый, больший объем предложения товаров. И наоборот, снижение спроса ведет к установлению более низкого уровня равновесной цены и меньшего объема предложения (рис. 2, а, б).

Рис. 2. (а) Уровень равновесия при изменяющемся спросе и неизменном предложении

Рис 2. (б) Уровень равновесия при изменяющемся предложении и неизменном спросе

Как видно из графика, уравновешивающая функция цены обнаруживает свое влияние как через спрос при неизменном предложении, так и через предложение при неизменном спросе.

При изменяющемся предложении и неизменном спросе также будет устанавливаться иной уровень рыночного равновесия. Так, рост предложения даст новую точку более низкой равновесной цены при возрастающем количестве продаж товаров. В случае снижения предложения установится равновесие на более высоком уровне с меньшим количеством продаж товаров.

Равновесие - закон для каждого конкурентного рынка, который позволяет сохранять равновесие всей экономической системы в целом.

Пример расчета равновесной цены

На московском рынке бытовой техники предложение отечественных холодильников имело вид: Q s = 15 000 4- + 2,4Р, где Р - цена, тыс. руб. за 1 холодильник; Q s - объем предложения, шт. за год. Спрос на эти холодильники выглядел следующим образом: Q d = 35 000 - 2,9Р.

Равновесную цену отечественных холодильников можно установить, если уравновесить предложение и спрос по этому товару (Q s = Q d ).

Равновесие потребителя. Методы нахождения точки равновесия

Равновесие потребителя – точка, в которой потребитель максимизирует свою общую полезность или удовлетворение от расходования фиксированного дохода.

Если кривая безразличия показывает, что потребитель хотел бы купить, а бюджетная линия - что потребитель может купить, то в своем единстве они могут ответить на вопрос, как обеспечить максимальное удовлетворение от покупки при ограниченном бюджете.

Кривые безразличия и бюджетная линия используются для графической интерпретации ситуации, когда потребитель максимизирует полезность, получаемую им от покупки двух разных благ при имеющемся бюджете.

Карта безразличия представляет собой графическое отображение вкусов и предпочтений потребителя. Бюджетная область показывает совокупность доступных потребителю товаров, то есть его покупательную способность. Объединение этих графиков позволяет ответить на вопрос, какой товарный набор является лучшим для потребителя. Товарный набор, максимизирующий совокупную полезность потребителя, называется точкой потребительского равновесия (точкой оптимума) и лежит в точке касания бюджетной линии и кривой безразличия (при условии, что товар желателен для потребителя то есть имеет положительную предельную полезность).

Требования. Оптимальный набор потребительских благ должен отвечать двум требованиям:

а) находиться на бюджетной линии;

б) предоставить потребителю наиболее предпочтительное сочетание.

Данные условия и их реализация обеспечивают оптимальный выбор точки на бюджетной линии. Для этого необходимо наложить бюджетную линию на карту кривых безразличия.

Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией соответствует положению равновесия потребителя рис. 26.10.

MRS = PX/PY

Рисунок 26.10 – Точка равновесия потребителя

Условия равновесия потребителя:

1 Набор из двух благ должен максимально удовлетворять потребности покупателя.

2 Набор из двух благ должен находиться на бюджетной линии. В любом другом случае потребитель или не расходует весь свой доход, или набор является недоступным.

Лекция 2

Тема 27 Анализ поведения потребителя – 2 часа

План лекции:

27.1 Реакция потребителя на смену дохода. Кривая « доход-потребление».

27.2 Реакция потребителя на смену цен. Кривая « цена-потребление».

27.3 Эффект замены и эффект дохода и их взаимодействие.

27.4 Принятие решений в ситуациях с риском.

27.1 Реакция потребителя на смену дохода. Кривая «доход-потребление»

Увеличение дохода при фиксированных ценах делает возможным для потребителя покупку наборов, которые раньше были ему недоступны; при этом бюджетная линия отодвигается от начала координат. При снижении дохода - ситуация обратная.

Изменение дохода вызывает параллельный сдвиг бюджетной линии. Уменьшение дохода смещает бюджетную линию к началу координат. Эти сдвиги предполагают, что цены фиксированы.

Смещение бюджетной линии приводит к новой точке равновесия, поскольку при каждом уровне дохода потребитель выбирает наиболее полезный набор благ. Связывая все точки равновесия на карте кривых безразличия, соответствующие различным величинам дохода, мы получаем кривую "доход-потребление", которая показывает, как потребительский набор изменяется в зависимости от дохода.

Кривая "доход-потребление" для нормальных (полноценных), некачественных (неполноценных) и для нейтральных (независимых) благ имеет различный наклон.

Кривая "доход-потребление" для нормальных (полноценных) благ имеет положительный наклон, поскольку с увеличением дохода увеличивается их потребление. На рис. 27.1 показано, что сначала потребитель находится в равновесии при наборе, соответствующем точке E1, где потребляется QX1 единиц товара X. Увеличение дохода от I1 до I2 смещает бюджетную линию дальше от начала координат, но параллельно ей самой. Если бы потребитель не приобретал благо X, то доход I1 был бы полностью в распоряжении для покупок других благ. Если бы потребитель вновь не приобретал благо X, то возросший доход I2 позволил бы приобрести другие блага.

Рисунок 27.1 – Реакция потребителя на изменение дохода

На рис. 27.1 денежный доход потребителя представлен пересечением бюджетной линии потребителя с вертикальной осью.

Увеличение доходов дает возможность приобретать такие блага, которые потребитель прежде не мог приобрести. Это вызывает перемещение равновесия к новой точке - Е2. Еженедельное потребление блага X - QX2 увеличилось в ответ на увеличение доходов.

Таким образом, кривая "доход-потребление" иллюстрирует, как объем блага X, потребляемого в неделю, изменяется в зависимости от изменения дохода.

Кривая "доход-потребление" изображает, как потребление блага X изменяется с увеличением дохода и то, что потребление нормального (полноценного) блага неизменно растет.

Кривая "доход-потребление" для некачественных (неполноценных) благ имеет отрицательный наклон (рис. 27.2).

При рассмотрении потребителем некачественного блага кривая "доход-потребление" поворачивает к вертикальной оси координат. После достижения определенного уровня дохода дальнейшее его увеличение приводит к сокращению потребления блага. При достижении этого уровня дохода кривая "доход-потребление" принимает отрицательный наклон. Так, при увеличении доходов выше уровня I2 наступает сокращение потребления блага X. При увеличении доходов выше определенного уровня потребители будут отказываться от потребления некачественных благ.

Рисунок. 27.2 – Кривая "доход-потребление" некачественного товара

Кривая "доход-потребление" для нейтральных (независимых) благ имеет вертикальный наклон (рис. 27.3).

Нейтральные, или независимые, блага - это блага, которые не являются ни нормальными, ни некачественными для потребителя. Это блага, потребление которых остается неизменным при всех уровнях дохода. К этой группе благ относят, например, соль, туалетную бумагу, зубную пасту и т. п., расходы на которые занимают относительно незначительную часть бюджета. Это блага первой необходимости.

Рисунок. 27.3 – Кривая «доход-потребление» на нейтральные товары

27.2 Реакция потребителя на смену цен. Кривая «цена-потребление»

Изменение цены на одно благо при фиксированном доходе и неизменных ценах на другие блага вызывает смещение бюджетной линии в точку, более удаленную или более близкую к началу координат.

Снижение цены на одно благо при неизменной структуре предпочтений и прежнем доходе приводит к повороту бюджетной линии против часовой стрелки до новой точки пересечения с осью, более удаленной от начала координат.

Повышение цены на данное благо при прочих равных условиях приведет к повороту бюджетной линии до новой точки пересечения с осью, более близкой к началу координат.

Кривая, связывающая все точки равновесия потребителя при изменении в ценах, представляет собой кривую "цена-потребление" (рис. 27.4).

На рис. 27.4 изображен поворот бюджетной линии при последовательном понижении цены на благо X. По мере падения цены на X потребитель перемещается в новую точку равновесия на графике. Первоначально потребитель находится в равновесии в точке E1. Как видно из графика (рис. 27.4, а), если цена на X понижается, он перемещается до точки Е2. Дальнейшее понижение цены приводит к передвижению потребителя до точки Е3 и затем до точки Е4 в ответ на это понижение. Соединяя эти точки, мы получаем кривую "цена-потребление".

На рис. 27.4, а точки на оси Qx, демонстрирующие объем блага X, который потребитель мог бы приобрести, если бы он израсходовал весь свой доход на это благо, обозначены F1, F2, F3, F4. По этим точкам можно определить цену на X. Если эти цены отметим против соответствующих объемов потребленного X, можно получить кривую спроса, которая показывает количество спроса отдельного потребителя при различных ценах (рис. 27.4, б). Это кривая потребительского спроса на благо X.

Кривая "цена-потребление" и кривая спроса – это два различных метода изображения того, каким образом приобретаемый объем блага изменяется при изменении цены блага и прочих равных условиях.

Рисунок 27.4 – Кривая "цена-потребление" и вывод "закона спроса"

Статикой называется раздел механики, изучающий условия равновесия тел.

Из второго закона Ньютона следует, что если геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело находится в состоянии покоя или совершает равномерное прямолинейное движение. В этом случае принято говорить, что силы, приложенные к телу, уравновешивают друг друга. При вычислении равнодействующей все силы, действующие на тело, можно прикладывать к центру масс .

Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю .

На рис. 1.14.1 дан пример равновесия твердого тела под действием трех сил. Точка пересечения O линий действия сил и не совпадает с точкой приложения силы тяжести (центр масс C ), но при равновесии эти точки обязательно находятся на одной вертикали. При вычислении равнодействующей все силы приводятся к одной точке.

Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил .

Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между линией действия силы и осью вращения.

Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы .

Произведение модуля силы на плечо d называется моментом силы M . Положительными считаются моменты тех сил, которые стремятся повернуть тело против часовой стрелки (рис. 1.14.2).

Правило моментов : тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

В Международной системе единиц (СИ) моменты сил измеряются в Н ьютон - метрах (Н∙м ) .

В общем случае, когда тело может двигаться поступательно и вращаться, для равновесия необходимо выполнение обоих условий: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы всех моментов сил.

здесь скриншот игры про равновесие

Катящееся по горизонтальной поверхности колесо - пример безразличного равновесия (рис. 1.14.3). Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Наряду с безразличным равновесием в механике различают состояния устойчивого и неустойчивого равновесия.

Состояние равновесия называется устойчивым, если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесное состояние.

При малом отклонении тела из состояния неустойчивого равновесия возникают силы или моменты сил, стремящиеся удалить тело от положения равновесия.

Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, - пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 1.14.4).

Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым. Если же центр масс расположен выше оси - состояние равновесия неустойчиво (рис. 1.14.5).

Особым случаем является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры , т. е. внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается. Интересным примером равновесия тела на опоре является падающая башня в итальянском городе Пиза (рис. 1.14.6), которую по преданию использовал Галилей при изучении законов свободного падения тел. Башня имеет форму цилиндра высотой 55 м и радиусом 7 м. Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.

Вертикальная линия, проведенная через центр масс башни, пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет 14 м. По-видимому, это произойдет очень нескоро.