Периодическая функция. Как определить периодичность функции

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”; формировать навыки применения свойств периодической функции, нахождения наименьшего положительного периода функции, построения графиков периодических функций; содействовать повышению интереса к изучению математики; воспитывать наблюдательность, аккуратность.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, слайды, часы, таблицы орнаментов, элементы народного промысла

“Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой”
А.Н. Колмогоров

Ход урока

I. Организационный этап.

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и задач урока.

II. Проверка домашнего задания.

Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем.

III. Обобщение и систематизация знаний.

1. Устная фронтальная работа.

Вопросы теории.

1) Сформируйте определение периода функции
2) Назовите наименьший положительный период функций y=sin(x), y=cos(x)
3). Назовите наименьший положительный период функций y=tg(x), y=ctg(x)
4) Докажите с помощью круга верность соотношений:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+180º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Как построить график периодической функции?

Устные упражнения.

1) Доказать следующие соотношения

a) sin(740º ) = sin(20º )
b) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Доказать, что угол в 540º является одним из периодов функции y= cos(2x)

3. Доказать, что угол в 360º является одним из периодов функции y=tg(x)

4. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 90º .

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Где вы встречались со словами ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТЬ?

Ответы учащихся: Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.

Период полураспада радиоактивного вещества. Периодическая дробь. Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки. Периодическая система Менделеева.

6. На рисунках изображены части графиков периодических функций. Определите период функции. Определить период функции.

Ответ : Т=2; Т=2; Т=4; Т=8.

7. Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?

Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество.

IV. Коллективное решение задач.

(Решение задач на слайдах.)

Рассмотрим один из способов исследования функции на периодичность.

При этом способе обходятся трудности, связанные с доказательством того, что тот или иной период является наименьшим, а также отпадает необходимость касаться вопросов об арифметических действиях над периодическими функциями и о периодичности сложной функции. Рассуждение опирается лишь на определение периодической функции и на такой факт: если Т – период функции, то и nT(n?0) – ее период.

Задача 1. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=1+3{x+q>5}

Решение: Предположим, что Т-период данной функции. Тогда f(x+T)=f(x) для всех x € D(f), т.е.

1+3{x+T+0,25}=1+3{x+0,25}
{x+T+0,25}={x+0.25}

Положим x=-0,25 получим

{T}=0 <=> T=n, n € Z

Мы получили, что все периоды рассматриваемой функции (если они существуют) находятся среди целых чисел. Выберем среди этих чисел наименьшее положительное число. Это 1 . Проверим, не будет ли оно и на самом деле периодом 1 .

f(x+1) =3{x+1+0,25}+1

Так как {T+1}={T} при любом Т, то f(x+1)=3{(x+0.25)+1}+1=3{x+0,25}+1=f(x), т.е. 1 – период f. Так как 1 – наименьшее из всех целых положительных чисел, то T=1.

Задача 2. Показать, что функция f(x)=cos 2 (x) периодическая и найти её основной период.

Задача 3. Найдите основной период функции

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Допустим Т-период функции, тогда для любого х справедливо соотношение

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Если х=0, то

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Если х=-Т, то

sin0+5cos0=sin(-1,5Т)+5cos0,75(-Т)

5= – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)

sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Сложив, получим:

10cos(0,75Т)=10

2π n, n € Z

Выберем из всех “подозрительных” на период чисел наименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число

f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Значит – основной период функции f.

Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)

Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х

sin|x+Т|=sin|x|

Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Предположим. Что при некотором n число π n является периодом

рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin|π n+x|=sin|x|

Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.

Задача 5. Проверить, является ли периодической функция

f(x)=

Пусть Т – период f, тогда

, отсюда sinT=0, Т=π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2π n будет периодом

Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому

Значит, функция f не периодическая.

Работа в группах.

Задания для группы 1.

Задания для группы 2.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Задания для группы 3.

По окончании работы группы презентуют свои решения.

VI. Подведение итогов урока.

Рефлексия.

Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.

VII. Домашнее задание

1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Функция y=f(x) имеет период Т=2 и f(x)=x 2 +2x при х € [-2; 0]. Найдите значение выражения -2f(-3)-4f(3,5)

Литература/

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа с углубленным изучением.
2. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
3. Шереметьева Т.Г. , Тарасова Е.А. Алгебра и начала анализа для 10-11 классов.

Материал для подготовки к коллоквиуму по алгебре.

1. Определение функции.

Функция - зависимость переменной у от переменной x , при которой каждому значению х соответствует единственное значение переменной у .

2. Определение возрастающей функции.

Возрастающая функция (не убывающая) - если для любых значений х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 , выполняется неравенство (если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции).

Чтобы по графику функции определить промежутки возрастания функции , нужно, двигаясь слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х , на которых график идет вверх .

Убывающая функция (не возрастающая) - если для любых х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 , выполняется неравенство (большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Чтобы по графику функцииопределить промежутки убывания функции , нужно, двигаясь слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х , на которых график идет вниз .

Определение четной функции, нечетной функции, функции общего вида.

Функция называется четной, если выполнены следующие два условия:

1. если (если х – х

2. для любого х .

Функция называется нечетной , если выполнены следующие два условия:

1. Если область определения функции симметрична относительно оси ОУ (если х принадлежит области определения функции, то и – х также принадлежит области определения функции);

2. для любого х из области определения функции выполняется равенство .

Функция называется функцией общего вида если не выполняются данные условия.

4. Каким условием обладает график четной, нечетной функций?

Свойство. График чётной функциисимметричен относительно оси ОY .

Свойство. График нечётной функции симметричен относительно начала координат .

Определение периодической функции.

Функция называется периодической , если существует положительное число Т такое, что . Наименьшее число с таким свойством называется периодом функции.

6. Перечислите основные свойства функции y= sin x:

1) Область определения функции - все значения, которые принимает независимая переменная х .

Область определения этой функции - множество всех действительных чисел. Так как вместо х в уравнение y=sin(x) мы можем поставить любое число. D (sin х) = R.

2) Область значений функции - все значения, которые принимает зависимая переменная у .

Область значений этой функции - является отрезок [-1;1]. E (sin х) = [-1;1].

3) Функция называется периодической, если существует положительное число Т такое, что . Наименьшее число с таким свойством называется периодом функции.

Функция y=sin(x) периодическая, с периодом 2π.

4) Функция y=sin(x) нечетная. Вспомним, что график нечётной функциисимметричен относительно начала координат.

5) Функция y=sin(x) принимает:

Значение, равное 0, при х =

Наименьшее значение, равное -1, при х= - ;

Положительные значения на интервале (0,π) и на интервалах, получаемых сдвигом этого интервала на ;

Отрицательные значения на интервале ()и на интервалах, получаемых сдвигом этого интервала на ;

6) Функция y=sin(x):

- возрастает на отрезке [ - ; ], и на отрезках, получаемых сдвигом этого отрезка на ;

Убывает на отрезке [ ; ], и на отрезках, получаемых сдвигом этого отрезка на ;

7. Перечислите основные свойства функции y= cos x:

1) Область определения этой функции - множество всех действительных чисел. D(cos) = R.

2) Область значений этой функции - является отрезок [-1;1]. E (cos)=[-1;1].

3) Функция y = cos (x) периодическая, с периодом 2 .

4) Функция y=cos(x) четная. Напомню, что график нечётной функции симметричен относительно оси ОY.

5) Функция y=cos(x) принимает:

Значение, равное 0, при х = ;

Наибольшее значение, равное 1, при х = ;

Наименьшее значение, равное -1, при х = ;

Положительные значения на интервале () и на интервалах, получаемых сдвигом этого интервала на ;

Отрицательные значения на интервале ( ; ) и на интервалах, получаемых сдвигом этого интервала на ;

6) Функция y=cos(x):

- возрастает на отрезке [ ;2 ], и на отрезках, получаемых сдвигом этого отрезка на ;

Убывает на отрезке , и на отрезках, получаемых сдвигом этого отрезка на ;

Графики функций y=cos(x) и y= sin (x)

8. Перечислите основные свойства функции y= tg x:

1) Область определения этой функции - множество всех действительных чисел, кроме .

По школьным урокам математики каждый помнит график синуса, равномерными волнами уходящий вдаль. Аналогичным свойством - повторяться через определенный промежуток - обладают и многие другие функции. Они называются периодическими. Периодичность - очень важное свойство функции, часто встречающееся в различных задачах. Поэтому полезно уметь определять, является ли функция периодической.

Инструкция

• Если F(x) - функция аргумента x, то она называется периодической, если есть такое число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.Обычно математика интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.
• Классический пример периодических функций - тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период одинаков и равен 2π, то есть sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и так далее. Однако, разумеется, тригонометрические функции - не единственные периодические.
• Относительно простых, базовых функций единственный способ установить их периодичность или непериодичность - вычисления. Но для сложных функций уже есть несколько простых правил.
• Если F(x) - периодическая функция с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) - тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла наклона касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку первообразная периодически повторяется, то должна повторяться и производная. Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C - нет.
• Если F(x) - периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k - константы и k не равно нулю - тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Например sin(2x) - периодическая функция, и ее период равен π. Наглядно это можно представить так: умножая x на какое-нибудь число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз
• Если F1(x) и F2(x) - периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 - рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй - 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или поздно (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.
• Однако если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической вовсе. Например, пусть F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 здесь будет равен 2, а T2 равен 2π. Соотношение периодов равняется π - иррациональному числу. Следовательно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.

Число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.

Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.

Обычно интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.

Классический пример периодических функций - тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период одинаков и равен 2π, то есть sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и так далее. Однако, разумеется, тригонометрические функции - не единственные периодические.

Относительно простых, базовых функций единственный способ установить их периодичность или непериодичность - вычисления. Но для сложных функций уже есть несколько простых правил.

Если F(x) - с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) - тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку периодически повторяется, то должна повторяться . Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.

Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C - нет.

Если F(x) - периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k - константы и k не равно нулю - тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Например sin(2x) - периодическая функция, и ее период равен π. Наглядно это можно представить так: умножая x на какое-нибудь число, вы как бы сжимаете функции по горизонтали именно в столько раз

Если F1(x) и F2(x) - периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 - рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй - 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.

Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.

Однако если соотношение периодов , то суммарная функция не будет периодической вовсе. Например, пусть F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 здесь будет равен 2, а T2 равен 2π. Соотношение периодов равняется π - иррациональному числу. Следовательно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.

Источники:

• Теоретические сведения о функциях

Многие математические функции имеют одну особенность, облегчающую их построение, - это периодичность , то есть повторяемость графика на координатной сетке через равные промежутки.

Инструкция

Самыми известными периодическими функциями математики синусоида и косинусоида. Эти функции имеют волнообразный и основной период, равный 2П. Также частным случаем периодической функции является f(x)=const. На позицию х подходит любое число, основного периода данная функция не имеет, так как представляет собой прямую.

Вообще функция является периодической, если существует целое число N, которое от нуля и удовлетворяет правилу f(x)=f(x+N), таким образом обеспечивая повторяемость. Период функции - это и есть наименьшее число N, но не ноль. То есть, например, функция sin x равна функции sin (x+2ПN), где N=±1, ±2 и т.д.

Иногда при функции может

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX

§ 207. Периодические функции

Функция у = f (x ) называется периодической, если существует число Т =/= 0, такое, что при всех значениях х из области определения зтой функции.

f (x + T) = f (x ) .

Число Т в этом случае называется периодом функции.

Периодическими являются, например, тригонометрические функции у = sin х и у = cos х . Их период равен 2π . Примером периодической нетригонометрической функции может служить функция у = {х }, которая каждому числу х ставит в соответствие его дробную часть*.

* О дробной части числа см. в главе VIII, § 187.

Например, {3,56} = 0,56; {2,01} = 0,01 и т.д. Если к произвольному числу х прибавить 1, то изменится лишь целая часть этого числа; дробная же часть останется прежней. Следовательно, {х + 1} = {х } и потому функция у = {х } является периодической с периодом 1.

Из равенства f (x + T) = f (x ) следует, что все значения функции у = f (x ) повторяются с периодом T. Это находит свое отражение и в графическом изображении периодических функций. Так, например, в интервале синусоида имеет ту же самую форму, что и в интервалах , и т. д. (рис. 282).

На рисунке 283 представлен график функции у = {х }. Периодичность функции у = {х } обусловливает то, что график ее в интервале имеет ту же самую форму, что и в интервалах , и т. д.

Если Т - период функции f (x ), то 2Т, 3T, 4Т и т. д. также периоды этой функции.

Действительно,

f (x + 2T) = f [(x + T) + Т] = f (x + T) = f (x ),

f (x + 3T) = f [(x + 2T) + Т] = f (x + 2T) = f (x )

и т. д. Кроме того, периодом функции f (x ) можно считать и любое из чисел: - Т, - 2T, - 3Т и т. д. В самом деле,

f (x - Т) = f [(x - Т) + Т] = f (x ),

f (x - 2Т) = f [(x - 2Т) + 2Т] = f (x )

и т. д. Итак, если число Т есть период функции f (x ), то при любом целом п число п Т также период этой функции. Поэтому всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов . Например, периодом функции у = sin x можно считать любое из чисел: 2π , 4π , 6π , - 2π , - 4π , а периодом функции у = {х } - любое из чисел: 1, 2, 3, - 1, - 2, - 3 и т. д.

Говоря о периоде функции у = f (x ), обычно имеют в виду наименьший положительный период. Так, мы говорим, что периодом функции у = sin х является число 2π , периодом функции у = tg х - число π , периодом функции {х } - число 1 и т. д.

Следует, однако, иметь в виду, что наименьшего положительного периода у периодической функции может и не быть.

Например, для функции f (x ) = 3 (рис. 284) любое действительное число является периодом. Но среди положительных действительных чисел не существует наименьшего. Поэтому и функция f (x ) = 3, имея бесконечное множество периодов, не имеет наименьшего положительного периода.

Упражнения

Для каждой из данных функций (№ 1613-1621) найти наименьший положительный период:

1613. у = sin 2х . 1619. у = sin (3х - π / 4).

1614. у = cos x / 2 . 1620. у = sin 2 х

1615. у = tg 3х . 1621. у = sin 4 х + cos 4 х .

1616. у = cos (1 - 2х ).

1617. у = sin х cos х .

1618. у = ctg x / 3 ;

1622. Доказать, что сумма и произведение двух функций, периодических с одним и тем же периодом Т, являются функциями, периодическими с периодом Т.

1623*. Докажите, что функция у = sin х + {х }, являющаяся суммой двух периодических функций у = sin х и у = {х }, сама не является периодической.

Не противоречит ли это результату предыдущей задачи?

1624. Как достроить график функции у = f (x ), периодической с периодом Т, если он задан лишь в интервале ?