Признаки делимости. Делимость суммы, разности, произведения

§ 63. Содержание главы.

Мы изучили сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел. Сложение и умножение всегда выполнимы независимо от того, над какими числами они выполняются,

Иначе обстоит дело с обратными действиями, т. е. с вычитанием и делением. Относительно вычитания мы говорили, что оно возможно в тех случаях, когда вычитаемое не больше уменьшаемого.

Гораздо больше затруднений связано с делением. Прежде всего возникает затруднение в том случае, когда делимое меньше делителя (14: 20), но это специальный вопрос, которым мы будем заниматься в следующей части нашей книги. Обратимся к другому случаю. Вы знаете, что деление иногда выполняется без остатка или, как говорят, «нацело», а иногда с остатком. Возникают вопросы: какими должны быть данные числа, чтобы они могли разделиться без остатка одно на другое? Можно ли по каким-нибудь признакам данных чисел установить, что деление в данном случае выполнимо?

§ 64. Кратное и делитель.

Определение. Если одно число делится без остатка на другое, то первое называется кратным второго, а второе - делителем первого.

Значит, число 6 будет кратно 3 (трём), а само число 3 будет делителем 6 (шести). Число 15 кратно 5, а само 5 будет делителем 15.

Число может быть кратно нескольким числам.

Например число 36 кратно числам: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36.

Числа, делящиеся на 2, называются чётными. Число нуль тоже относится к чётным числам. Все же остальные числа называются нечётными. Следовательно:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12... - чётные, 1, 3, 5, 7, 9, 11... - нечётные.

§ 65. Делимость суммы и разности.

1. Рассмотрим следующее важное свойство суммы .

Если каждое слагаемое делится без остатка на какое-нибудь число, то и сумма разделится на это число.

П р им е р:

14 делится на 7, 21 делится на 7, их сумма 14 + 21, т. е. 35, тоже делится на 7.

Ещё пример: 39 делится на 13, 65 делится на 13, их сумма 39 + 65 = 104 тоже делится на 13.

Мы можем взять сумму более чем двух слагаемых, например трёх, и высказанное утверждение окажется справедливым:

25 делится на 5,

35 делится на 5,

50 делится на 5.

Сумма 25 + 35 +50 = 110 тоже разделится на 5.

Этим свойством суммы мы можем воспользоваться, если хотим узнать, делится ли какое-нибудь число на другое. Например, я хочу узнать, не выполняя деления, разделится ли 756 на 7. Можно поступить так: 756 представить как сумму двух слагаемых 700 + 56. Теперь нужно подумать, делится ли каждое из этих слагаемых на 7. Здесь уже легко сообразить, что 700 делится на 7 и 56 делится на 7, значит и сумма, т. е. 756, разделится на 7.

Возникает вопрос: если слагаемые не делятся на какое-нибудь число, то разделится ли на это число сумма или нет?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть различные возможные здесь случаи:

а) Слагаемые 21 и 22 не делятся на 5; их сумма 43 тоже не делится на 5.

б) Слагаемые 22 и 23 не делятся на 5; но их сумма 45 делится на 5.

Значит, если отдельные слагаемые не делятся на данное число, то их сумма в некоторых случаях может разделиться на это число.

Теперь подумаем, будет ли сумма двух слагаемых делиться на некоторое число, если одно из слагаемых не делится на это число, а другое делится.

Пусть одно из слагаемых будет 33, а другое 17, их сумма 50. Первое слагаемое (33) делится на 11, а второе 17 не делится, сумма 50 тоже не делится на 11.

Возьмём сумму трёх слагаемых: 15, 20 и 23, т. е. 58. Каждое из первых двух слагаемых (15 и 20) делится на 5, но третье слагаемое 23 на 5 не делится, сумма 58 тоже не делится на 5.

Из рассмотрения этих примеров можно сделать вывод:

Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на некоторое число, а это одно на него яе делится, то сумма всех этих слагаемых на него не разделится.

Используем этот вывод для решения вопроса о том, разделится ли число 150 на 14. Представим 150 следующим образом:

Первое слагаемое этой суммы (140) делится на 14, но так как второе слагаемое, т. е. 10, на 14 не делится, то и150 на 14 не разделится.

2. Теперь рассмотрим важное свойство разности.

Если уменьшаемое и вычитаемое делятся нацело на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.

45 делится на 9, 18 делится на 9, их разность 45-18, т. е. 27, тоже делится на 9.

Ещё пример:

88 делится на 11, 33 делится на 11, их разность 88-33 = 55 тоже делится на 11.

Этим свойством разности мы можем иногда воспользоваться для выяснения вопросов о делимости одного числа на другое. Пусть требуется ответить на вопрос, делится ли на 7 число 693. Прибавим к нему 7, получим 700. Тогда мы можем написать такое равенство: 700 - 7 = 693. В нём уменьшаемое 700 делится на 7, вычитаемое 7 делится на 7, значит и разность 693 тоже делится на 7.

§ 66. О признаках делимости чисел.

Во многих случаях очень важно бывает определить, не выполняя деления, разделится ли нацело одно число на другое. Пусть требуется, например, ответить на вопрос, будет ли 156 делиться на 4. Такие вопросы в будущем, например при изучении дробей, придётся ставить очень часто. Чтобы ответить на поставленный вопрос, можно, конечно, разделить первое число на второе, но такой приём является невыгодным. Поэтому в арифметике пытаются, не производя деления, узнать, разделится ли одно число на другое нацело или нет. В силу этого мы теперь займёмся изучением таких особенностей или свойств чисел, которые позволяют судить о делимости одного числа на другое. Сейчас мы выведем некоторые из этих «признаков» делимости.

§ 67. Признак делимости на 2.

Какие числа делятся на 2? Чем отличаются числа, делящиеся на 2, от чисел, не делящихся на 2? Возьмём два числа: 35 и 32. Первое из них, т. е. 35, не делится на 2, а 32 делится на 2. В чём же между ними разница? Мы уже знаем из предыдущего, что если каждое из двух чисел делится на третье, то сумма их разделится на это число. Представим данные числа в виде суммы десятков и единиц:

35 составляется из трёх десятков и пяти единиц. Каждый десяток делится на 2, значит и 3 десятка, т. е. 30, разделится на 2, но второе слагаемое, т. е. 5, не делится на 2; именно поэтому и всё число 35 не делится на 2.

Если же мы рассмотрим число 32, то увидим, что оно есть сумма 30 и 2, т. е. таких чисел, из которых каждое делится на 2. Значит, число 32 разделится на 2.

Рассмотрим ещё одно число, причём выберем большее число, чем 32, например 876. Это число мы можем представить так:

Первое слагаемое 870 делится на 2, так как состоит из 87 десятков, второе слагаемое 6 тоже делится на 2, значит и всё число 876 разделится на 2.

Эти примеры показывают, что делимость чисел на 2 зависит исключительно от делимости второго слагаемого (единиц). Ведь число 35 не разделилось на 2 потому, что у него не делилось на 2 второе слагаемое. Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, то оно разделится на 2, в противном случае - не разделится.

На основе изложенного признак делимости на 2 мы можем высказать так: на 2 делятся те и только те числа, которые оканчиваются чётной цифрой. (Нуль относится к чётным числам.)

§ 68. Признак делимости на 4.

Прежде всего установим такой факт; на 4 делится число 100 и, следовательно, всякое число, представляющее собой сумму сотен (200, 300, ..., 1 400, 1 500, ..., 2 000, ...). Но всякое число, являющееся суммой сотен, оканчивается двумя нулями. Значит, на 4 делится всякое число, оканчивающееся двумя нулями.

Возьмём теперь число, которое оканчивается не нулями, а какими-нибудь другими цифрами, например 123 456.

Представим его как сумму двух слагаемых следующим образом:

Первое слагаемое этой суммы (123 400) разделится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Если второе слагаемое (56) разделится на 4, то и сумма (123 456) разделится на 4. Второе слагаемое 56 делится на 4. Значит, и число 123 456 разделится на 4.

Возьмём число 1 634 и представим его как сумму двух слагаемых так:

Первое слагаемое этой суммы 1 600 делится на 4, но второе (34) не делится. Значит, сумма, т. е. число 1 634, на 4 не разделится.

Таким образом, на 4 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4.

Например делятся на 4: 4 600, 1 264; не делятся на 4: 110, 4 562.

§ 69. Признак делимости на 5.

Прежде всего отметим, что на 5 делится число 10 и, значит, всякое число, состоящее из десятков (20, 30, ..., 140, 150, ..., 2 160, 2 170, ...).

С другой стороны, всякое многозначное число можно рассматривать как сумму десятков и единиц.

Первое слагаемое, как состоящее из одних десятков, всегда разделится на 5. Значит, делимость всякого многозначного числа на 5 будет зависеть исключительно от делимости на 5 второго слагаемого, т. е. единиц числа.

Но среди единиц есть единственное число, делящееся на 5, - это самое число 5. Следовательно, у чисел, делящихся на 5, вторым слагаемым может быть только число 5.

Если же мы возьмём, например, число 2 347, у которого на месте единиц стоит не 5, а 7, то это число не разделится на 5, так как в сумме 2 340 + 7 первое слагаемое делится, а второе слагаемое (7) не делится на 5.

В силу этого признак делимости на 5 можно высказать так: на 5 делятся те и только те числа, которые оканчиваются нулём или цифрой 5.

Например, на 5 делятся: 1 320; 4 065; на 5 не делятся: 21; 432; 6 543.

§ 70. Признак делимости на 25.

Число 100 делится на 25. Следовательно, и всякое число, составленное из сотен, должно делиться на 25 (200, 300, ..., 1 400, 1 500, ..., 5 600, ...). Но так как число, состоящее из сотен, оканчивается двумя нулями, то на 25 должны делиться все числа, оканчивающиеся двумя нулями.

Теперь возьмём два числа, оканчивающиеся не нулями, а какими-нибудь другими цифрами: 23 456 и 34 875.

Каждое из них можно представить в виде двух слагаемых так:

23 400 + 56 и 34 800 + 75.

В первом случае второе слагаемое (56) не делится на 25, поэтому и всё число (сумма) не делится на 25. Во втором случае второе слагаемое (75) делится на 25,поэтому всё число разделится на 25. Значит, делимость числа на 25 зависит от деления на 25 числа, составленного двумя последними цифрами. Но в пределах сотни есть только три таких числа: 25, 50 и 75.

На этом основании мы можем сказать, что на 25 делятся те и только те числа, которые оканчиваются на 00; 25; 50 и 75.

§ 71. Признаки делимости на 9 и на 3.

Какие числа делятся на 9? Прежде всего на 9 делятся все числа, которые написаны посредством цифры 9, т. е. 9; 99; 999; 9 999 и т. д.

Далее, запомним, что числа изображаемые единицей с нулями, при делении на 9 дают в остатке 1. В самом деле: 10: 9 = 1 и 1 в остатке; 100: 9 = 11 и 1 в остатке; 1 000: 9 = 111 и 1 в остатке; 10 000: 9 = 1 111 и 1 в остатке.

Приняв это во внимание, разделим на 9 число 567. Представим его в виде суммы разрядных единиц:

567 = 500 + 60 + 7.

Число 500 при делении на 9 даёт в остатке пять (5) единиц, потому что каждая сотня при делении на 9 даёт в остатке 1.

Число 60 при делении на 9 даёт в остатке шесть (6) единиц, потому что каждый десяток при делении на 9 даёт в остатке 1.

Число семь (7) не делится на 9 и тоже является остатком.

Таким образом, у нас получились следующие остатки: 5, 6 и 7.

Если сумма этих остатков, т. е. 5 + 6 + 7 = 18, разделится на 9, то и число 567 разделится на 9. В данном случае сумма остатков на 9 делится.

Если же мы возьмём другое число, например 476, у которого сумма остатков, как легко сообразить на основании предыдущего, будет:

то здесь сумма остатков на 9 не делится; значит, и всё число (476) на 9 не разделится.

Но что представляет собой эта сумма остатков? Это есть сумма чисел, соответствующих цифрам данного числа (ради краткости говорят, что это есть сумма цифр числа).

Поэтому признак делимости на 9 можно высказать так: на 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

Всякое число, делящееся на 9, будет делиться и на 3 (но не наоборот). Мы могли бы провести подобные рассуждения, применительно к числу 3. Тогда признак делимости на 3 был бы высказан так: на 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, на 3 делятся: 51; 231; 8 112; 12 345.

Понятие отношения делимости

Определение. Число а делится на число в тогда и только тогда, когда существует такое число q, что а = в × q. а в ( q N 0) [а = вq].

Обозначают: а в. Читают: «число а кратно числу в», «число в – делитель числа а», «а кратно в».

Равенство а=вq называют формулой кратности числа а числу в.

Число а, кратное 2, называют четным. Общий вид четного числа: а = 2n, n N 0 .

Число, кратное 3 имеет формулу: а = 3n, n N 0 .

Определение. Отношение делимости на множестве N 0 N содержит те и только те пары чисел (а, в), у которых первая координата кратна второй. Обозначают: « ».

« » = {(а, в)| (а, в) N 0 N а в}.

Если отношение делимости обозначить , то N 0 N ={(а, в)| (а, в) N 0 N а=вq}.

Теорема. Делитель в данного числа а не превышает этого числа, то есть, если а в в а.

Доказательство. Так как а в, то ( q N 0) [а = вq] а – в=вq-в=в(q – 1), так как q N q 1.

Тогда в (q – 1) 0 в а. Из определения отношения делимости и равенства а = 1 × а, следует, что 1 является делителем для любого натурального числа.

Следствие. Множество делителей данного числа конечно.

Например, делители числа 18 является конечное множество: {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Свойства отношения делимости

1. Отношение делимости рефлексивно, то есть любое натуральное число делится само на себя: ( а N) [(а,а) ], то есть а: а = 1.

Доказательство. ( а N)[а = а × 1] по определению отношения делимости а: а.

2. Отношение делимости антисимметрично, то есть для различных чисел а и в из того, что а в, следует, что в не кратно а. ( а, в N 0 N)[а в а в ].

Доказательство. Допустим, что в а, тогда в а. Но по условию а в, так как а в.

Неравенства в а а в истины только в том случае, если а = в. пришли к противоречию с условием. Следовательно, допущение, что в а Л. Таким образом, отношение делимости антисимметрично.

3. Отношение делимости транзитивно. ( а,в,с N 0 N)[а в в с а с].

Доказательство. Если а в ( q N)[а = вq] (1) Из того, что в с ( t N)[в = сt] (2)

Подставим в = сt в равенство (1), получим: а = (сt)q = c(tq), t,q N tq N tq = р а = ср, р N. А это значит, что а с.

Признаки делимости. Делимость суммы, разности, произведения

Определение. Признаком делимости называется предложение, в котором доказывается как можно предсказать делимость одного числа на другое, не выполняя деления этих чисел.

Теорема (признак делимости суммы). Если числа а и в делится на число n, то их сумма делится на это число, ( а,в, n N 0 N)[а n в n (а + в) n].

Доказательство. Из того что а n в n (по определению отношения делимости)

а=nq 1 (1), q 1 N. в=nq 2 (2), q 2 N. Преобразуем сумму (а + в) к виду:

а + в = nq 1 + nq 2 = n (q 1 + q 2) = nq,q = q 1 + q 2 . а + в = nq.

Следовательно, по определению отношения делимости, что (а + в) n.

Теорема (признак делимости разности). Если числа а и в делятся на число n и а в, то их разность а – в делится на число n, то есть

( а,в,n N 0 N)[а n в n а в (а – в) n].

Теорема (признак делимости произведения). Если один из множителей произведения делится на число n, то и все произведение делится на число n.

( а,в,n N 0 N)[а n (ав) n].

Доказательство. Из того, что а n а = nq (1). Умножим обе части равенства (1) на в N, получим: ав = nqв (по ассоциативности умножения) ав = n(qв) = nt, где t = qв ав = nt. А это значит, что ав n (по определению отношения делимости). Таким образом, для делимости произведения на число достаточно чтобы на данное число делился хотя бы один из множителей этого произведения.

Теорема. Если в произведении ав множитель а делится на натуральное число m, а множитель в делится на натуральное число n, то ав делится на mn.

( а,в,m,n N)[а m в n ав mn].

Доказательство. Из того, что а m а = mq 1 , q 1 N; в n в = nq 2 , q 2 N

ав = mq 1 × nq 2 , = mn(q 1 × q 2) = mnq, q 1 × q 2 = q N. ав = mnq ав mn.

Теорема (признак делимости на 2). Для того, чтобы число х делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8.

Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, то есть:

х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 , где а n , a n –1 , …, а 1 – цифры, принимающие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а n 0, а 0 – принимает значения 0, 2, 4, 6, 8.

Докажем, что число х 2. Так как 10 2, то любая степень числа 10 2. Десятичную запись числа х представим в виде: х = (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10) + a 0

I слагаемое II слагаемое

В этой сумме первое слагаемое по признаку делимости суммы делится на 2. Второе слагаемое а 0 2 (по условию). Следовательно, по признаку делимости суммы на число х делится на 2.

Обратно, если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6, 8.

Запишем число х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 в виде: а 0 = х – (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10).

В этой разности число х 2 (по условию), вычитаемое (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10) 2 (по признаку делимости суммы). Следовательно, по теореме о делимости разности а 0 2. Чтобы однозначное число а 0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.

Признак делимости на 2. На 2 делятся те и только те числа, в разряде единиц которых содержится число, делящееся на 2 или на 2 делятся те и только те числа, десятичная запись которых оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Теорема (признак делимости на 5). Для того, чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Лемма . ( n N) .

Доказательство. Так как 100 = 4 × 25, то по признаку делимости произведения

100 4. Тогда ( n N n > 1) 10 n = 100 × 10 n–2 и по признаку делимости произведения 10 n 4.

Теорема (признак делимости на 4). Натуральное число х делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние цифры его десятичной записи образуют двузначное число, делящееся на 4.

Пусть х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 и пусть десятичная запись двух последних цифр a 1 10 + a 0 выражает число , которое делится на 4.

Доказательство. Представим число х в виде суммы двух слагаемых:

х = (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) + (а 1 10 + а 0),

I слагаемое II слагаемое

где первое слагаемое, по доказанной выше Лемме, делится на 4, второе слагаемое делится на 4 по условию. Следовательно, согласно признака делимости суммы на число, число х делится на 4.

Обратно, если число х 4, то – двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, делится на 4.

По условию х 4. Докажем, что (а 1 10 + а 0) 4.

Доказательство. Десятичная запись числа х имеет вид:

х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+а 2 10 2 + a 1 10 + a 0 , представим число х в виде суммы двух слагаемых:

х = (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) + (а 1 10 + а 0) и запишем равенство в виде:

х – (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) = а 1 10 + а 0 , где х 4 (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) 4 (по лемме).

Следовательно, по признаку делимости разности а 1 10 + а 0 4. выражение а 1 10 + а 0 = – есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.

Признак делимости на 4. На 4 делятся те и только те числа, две последние цифры десятичной записи которых образуют число, делящееся на 4.

Теорема. Для того чтобы число х делилось на 25 необходимо и достаточно, чтобы на 25 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.

Доказывается аналогично.

Признак делимости на 25. На 25 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры в записи числа 00, 25, 50, 75.

Лемма. ( n N) [(10 n – 1) 9].

Докажем методом математической индукции.

1. Проверим справедливость утверждения для n = 1,

имеем: 10 1 – 1 = 9 9 9. А(1) И.

Следовательно, лемма доказана, то есть (10 n – 1) 9.

Теорема (признак делимости на 9). Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делалась на 9.

Пусть х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 (1), где где а n , a n –1 , …, а 1 , а 0 – цифры, принимающие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а n 0 и (а n + a n –1 + … + а 1 + а 0) 9.

Докажем, что число х 9. Доказательство. Преобразуем сумму (1), прибавив и вычтя из нее выражение а n + a n –1 + … + а 1 + а 0 , получим:

х = а n 10 n + a n–1 10 n–1 + …+a 1 10 + a 0 + а n – a n + a n – 1 – a n – 1 + …+ a 1 – a 1 + a 0 – a 0 =

= (а n 10 n – a n) + (a n–1 10 n–1 – a n – 1) + … + (a 1 10 – a 1) + (a 0 – a 0) =

=а n (10 n – 1) + a n–1 (10 n–1 – 1) + … + a 1 (10 –1) + (а n + a n–1 + … + а 1 + а 0). 9, то есть сумма цифр десятичной записи числа х делится на 9. 3 (по признаку делимости произведения), второе слагаемое 10 k – 1 3 (по допущению индукции). Следовательно, по признаку делимости суммы вся сумма делится на 3.

Таким образом, А (1) И А(k) И А(k + 1) И. Следовательно, (10 n – 1) 3

Признак делимости на 3. На 3 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-08-26

• Если каждое из натуральных чисел a1, a2, ... , an b , то их сумма a1 + a 2 + ... + an делится на это число.

• Если в сумме одно слагаемое не делится на число b , а все остальные слагаемые делятся на число b , то вся сумма на число b не делится.

• Если числа a1 и a2 делятся на b и a1 ≥ a2 , то их разность a1 – a 2 делится на b .

• Если в произведении a·b множитель a делится на натуральное число m , а множитель b делится на натуральное число n , то a·b делится на m·n .

• Если произведение a·c делится на произведение b·c , причем c – натуральное число, то и a делится на b .

Задача 19. Не производя вычислений, установите, делятся ли на 4 выражения: а) 132 + 360 + 536; б) 540 - 332; в) 2512·127.

Решение . а) так как на 4 делится каждое слагаемое, то сумма 132 + 360 + 536 делится на 4; б) так как уменьшаемое 540 делится на 4 и вычитаемое 332 делится на 4, то и разность 540 - 332 делится на 4; в) так как число 2512 делится на 4, то и произведение 2512·127 делится на 4.

Задача 20. Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел n и n + 1 делится на 2.

Решение. n·(n + 1) делится на 2, надо рассмотреть две возможности:

1) n делится на 2, т.е. n = 2k . Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: 2 k·(2k + 1) . Это произведение делится на 2, так как первый множитель в нем делится на 2;

2) n не делится на 2, т.е. n = 2k + 1 . Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: (2 k + 1)·(2k + 2) . Это произведение делится на 2, так как второй множитель делится на 2.

Задача 21. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2 делится на 3.

Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2) делится на 3, надо рассмотреть три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k . Тогда n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: 3 k·(3k + 1)·(3k + 2) . Это произведение делится на 3, так как первый множитель в нем делится на 3;

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1 . Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3 k + 1)·(3k + 2)·(3k + 3) . Это произведение делится на 3, т.к. третий множитель делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3 k + 2)·(3k + 3)·(3k + 4) . Это произведение делится на 3, т.к. второй множитель в нем делится на 3.

На основании задач 20 и 21 можно сформулировать утверждение, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

Задача 22. Доказать, что произведение четырех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2, n + 3 делится на 4.

Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) делится на 4 надо рассмотреть четыре возможности:

1) n делится на 4, т.е. n = 4k . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: 4k·(4k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3) . Это произведение делится на 4, так как первый множитель в нем делится на 4;

2) n при делении на 4 дает в остатке 1, т.е. n = 4k + 1 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3)·(4k + 4) . Это произведение делится на 4, так как последний множитель делится на 4;

3) n при делении на 4 дает в остатке 2, т.е. n = 4k + 2 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 2)·(4k + 3)·(4 k+ 4)·(4k + 5) . Это произведение делится на 4, так как третий множитель делится на 4;

4) n при делении на 4 дает в остатке 3, т.е. n= 4k + 3 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 3)·(4k + 4)·(4k + 5)·(4k + 6) . Это произведение делится на 4, так как второй множитель делится на 4.

Поскольку произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) содержит произведение двух, трех последовательных натуральных чисел, то оно делится на 2 и на 3.

Задача 23. Доказать, что при любом натуральном значении n .

Решение . Преобразуем данное выражение: (2 n - 1)3 - (2n - 1)= = (2n - 1)·(4n2 - 4n + 1 - 1) = 4n·(n - 1)·(2n - 1) . Это произведение делится на 4. Кроме того, произведение двух последовательных натуральных чисел n·(n - 1) делится на 2. Таким образом, произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) делится на 8. Осталось показать, что это произведение делится на 3. Для этого рассмотрим три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k . Тогда произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) будет иметь вид: 4 ·3 k·(3k - 1)·(6k - 1)

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1 . Тогда произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) будет иметь вид: 4 ·(3 k + 1)·3k·(6k + 1) . Это произведение делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2 . Тогда произведение 4 n·(n - 1) ·(2 n - 1) будет иметь вид: 4 ·(3 k + 2)·(3k + 2 -1) · (6 k + 4 - 1)= 4 ·(3 k + 2) ·(3 k +1) ·(6 k+3). Это произведение делится на 3, т.к. последний множитель в нем делится на 3.

Так как 8 и 3 - взаимно , то , т.е. на 24, что и требовалось доказать.

Задача 24. Доказать, что разность любого трехзначного числа и трехзначного, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке делится на 9.

Решение. Представим любое трехзначное число в виде . Нам надо доказать, что . Преобразуем выражение

Упражнения для самостоятельной работы

1. Доказать, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.

2. Доказать, что при любом натуральном n число n 3 + 5n делится на 6.

3. Доказать, что при любом натуральном n число n 3 - n делится на 24.

4. Доказать, что разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

5. Доказать, что трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.

Тема урока: Делимость суммы и произведения.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний.

Цели урока:

1. Предметные: Расширить знания учащихся о простейших элементах теории делимости натуральных чисел; показать способы использования в вычислениях свойства делимости суммы и произведения натуральных чисел.

2. Метапредметные: развитие умений учащегося проводить несложные доказательные рассуждения в ходе исследования; развитие умений учащихся организовывать сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, работать индивидуально, в группах, аргументировать и отстаивать свое мнение.

3. Личностные: Способствовать развитию коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками при групповой работе; содействовать формированию устойчивого интереса к предмету; развивать личностные качества: ответственность, целеустремленность.

приёмы и методы:

Рефлективные приёмы;

Приёмы создания ситуации успеха и индивидуального выбора;

Методы самодиагностики;

Частично-поисковый метод;

Работа с учебником.

Формы работы учащихся:

Индивидуальная

Работа в парах

Фронтальная.

Планируемые результаты:

Учащиеся узнают свойства делимости суммы и произведения;

Приобретение навыков у учащихся к использованию в вычислениях свойств делимости суммы и произведения.

Применяемые образовательные технологии:

Системно-деятельностный подход;

Технология проблемного обучения.

Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности.

Здравствуйте, товарищи кадеты.

Ребята, сегодня наш урок мне хотелось бы начать с немного смешного, но на мой взгляд, очень поучительного фрагмента мультипликационного фильма моего детства «Вовка в тридевятом царстве»

Посмотрите, пожалуйста, его очень внимательно. (Просмотр и обсуждение фрагмента мультфильма).

На что рассчитывал Вовка в начале? (Что работу за него выполнят «Двое из ларца»)

Что из этого вышло?(Они все перепутали, и Вовке все равно пришлось делать все самому)

А почему Вовка остался голодный?

Благодаря чему он смог сделать корыто для старухи?

Как вы думаете, сможет Вовка построить избу? Почему вы в этом уверены?

Я с вами абсолютно согласна. Никто за вас не выполнит вашу работу, а от ее качества будет зависеть результат. Если захотеть, то научиться можно всему.

Сегодня у нас урок открытия новых знаний. И я желаю вам успехов в их поиске, в этом вам обязательно помогут накопленные вами хоть небольшие но все же очень важные знания!

2. Актуализация знаний и пробное учебное действие.

А) устный счет(лесенка)

Чтобы вам работалось на протяжении всего урока легко, давайте выполним небольшую разминку для мозга.

У вас на парте в файле с заданиями есть карточки, на которых изображена лесенка. (Слайд 1) Найдите их. (по вариантам). Подпишите. Вам необходимо будет за 2 минуты подняться по ступенькам лестницы как можно выше, записывая на каждой ступени результат вычисления.

Время вышло, заканчиваете. Обменяйтесь карточками.

Проверьте результат друг друга по образцу на слайде (Слайд 2)

Если задание выполнено полностью и без ошибок, поставьте «пятерку»

Верните карточки.

Поднимите руку, у кого «Пятерка». Молодцы!

А кто допустил ошибки, задумайтесь почему?

Есть только две причины, назовите мне их сами. (невнимательность, незнание таб. Умножения)

Это еще раз говорит о том, что нужно быть более внимательными, а у кого возникли проблемы с таблицей умножения, повторите дома ее еще раз.

Б) Теперь нам предстоит вспомнить некоторые понятия, которые будем использовать на нашем уроке. Предлагаю для этого разгадать кроссворд. Он находится у вас в файлах. Работаем в парах. Даю вам 3 минуты.

Как называется результат умножения?

Как называются числа, которые складывают?

Как называется число, на которое делят?

Как называются числа, которые умножают?

Как называется результат сложения?

Как называется число, у которого больше двух делителей?

Как называется число, у которого два делителя?

Проверьте свои ответы. (Слайд 3)

На какие вопросы вы не смогли ответить?

Давайте мы еще раз повторим определения этих понятий.

Какое определение можно дать понятию по вертикали?

А сейчас откройте тетради и поставьте на полях «!» на против задания, с которым вы дома справились легко и быстро, а «?», если задание вызвало затруднение, к этим заданиям мы вернемся на следующем уроке.

Запишите число и классная работа.

Выполните следующее задание: (Слайд 4)

В) 1. Выясните является ли число 4 делителем произведения: (3мин)

2. Выясните является ли число 3 делителем суммы:

3. Выявление причины затруднения.

Что вы можете сказать о произведениях?

О суммах?

Как вы это выяснили?

Может кто-то использовал другой способ, и смог ответить на вопрос, не выполняя вычислений? (нет)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Так какую цель мы с вами поставим перед собой сегодня на уроке?

(научиться определять без вычислений делится ли сумма или произведение на некоторое число) (Слайд 5)

Тема нашего урока: «Свойства делимости произведения и суммы» (Слайд 6)

Эти свойства вам предстоит сформулировать самостоятельно, и доказать, что они работают на практике.

Физкультминутка.

Потрудились – отдохнем,

Встанем, глубоко вздохнем.

Руки в стороны, вперед,

Влево, вправо поворот.

Три наклона, прямо встать.

Руки вниз и вверх поднять.

Руки плавно опустили,

Всем улыбки подарили.

Объединитесь в группы по 4 человека.

Не забывайте о правилах работы в группе.

Ответьте письменно на вопросы, находящиеся на ваших карточках и сделайте вывод.

Все справились с заданием?

Какую закономерность вы увидели для суммы, какой вывод вы можете сделать?(1 и 2 группы)

Сформулируйте свойство делимости суммы.

Хорошо, какая закономерность прослеживается для произведения? (3 и 4 группы)

Сформулируйте свойство делимости произведения.

5. Реализация построенного проекта

А теперь вернемся к заданию на слайде и проверим верны ли наши предположения. (да)

Итак, мы с вами сформулировали свойства делимости суммы и произведения. Проверим правильность сформулированных нами свойств. Откройте учебник на стр.102.

Ну что вы были правы?(да)

6. Первичное закрепление.

Нам осталось только научиться использовать свойства делимости суммы и произведения.

Учебник (стр.104):

№ 350,357-устно

№ 358(в,г)-доска и тетрадь

№ 359,360(а,б)- дополнительно

Хорошо, молодцы.

А теперь еще раз повторим свойства делимости, которые вы сегодня сами открыли, расскажите их друг другу.

7. Рефлексия деятельности на уроке.

Наш урок подходит к концу, давайте подведем итоги.

Какую цель вы перед собой ставили? (научиться определять без вычислений делится ли сумма или произведение на некоторое число)

Как вы считаете, достигли вы цели?(Да)

А теперь возьмите в файле карточки для самооценки, подпишите их и оцените свою деятельность на уроке.

8.Домашнее задание:

№ 356(а), 358(а,б), 360(в,г)

Ребята, вы сегодня все без исключения очень плодотворно потрудились, спасибо вам за вашу работу.

Закончить урок я хочу словами вьетнамской народной пословицы: «Узнать можно лишь тогда, когда учишься; дойти можно лишь тогда, когда идешь». Не забывайте об этом.

Кто получил оценки за устный счет, принесите дневники. А кто выполнил дополнительное задание, подойдите ко мне с тетрадями.